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《翻轉微積分的28堂課》班.歐林（Ben Orlin）
【微積分與狗狗】
「故事始於2001年。『我從沒想過要養狗，』斐寧斯（Timothy Pennings）說起他初次見到艾維斯的情境。但當那隻一歲大的幼犬毫不猶豫地跳到他腿上，這個數學家決定反正嘗試一下——『養六個月看看』。
這份感情將持續十多年，艾維斯會在斐寧斯的研究室裡打盹，跟著他上課。不上課的時候，人狗二人組喜歡去密西根湖東岸的湖鎮沙灘公園。斐寧斯會把一顆網球丟進湖水裡；艾維斯沿著沙灘蹦蹦跳跳到中途，在撲進水中。」
這讓斐寧斯想起一個微積分謎題〈珍救泰山問題〉：泰山不小心陷進流沙裡，需要珍去解救他，但珍在河的對岸，她要如何在最短的時間內救到泰山？
《翻轉微積分的28堂課》班.歐林（Ben Orlin）
【微積分與狗狗】
「故事始於2001年。『我從沒想過要養狗，』斐寧斯（Timothy Pennings）說起他初次見到艾維斯的情境。但當那隻一歲大的幼犬毫不猶豫地跳到他腿上，這個數學家決定反正嘗試一下——『養六個月看看』。
這份感情將持續十多年，艾維斯會在斐寧斯的研究室裡打盹，跟著他上課。不上課的時候，人狗二人組喜歡去密西根湖東岸的湖鎮沙灘公園。斐寧斯會把一顆網球丟進湖水裡；艾維斯沿著沙灘蹦蹦跳跳到中途，在撲進水中。」
這讓斐寧斯想起一個微積分謎題〈珍救泰山問題〉：泰山不小心陷進流沙裡，需要珍去解救他，但珍在河的對岸，她要如何在最短的時間內救到泰山？
一個方法是直接游過去。但珍的游泳速度比跑步慢，這是最快的方法嗎？
或是，先沿著河岸跑到泰山對面，再游過去。這個方法使游泳距離減到最少，但整段路線變得很長。
珍有非常多的方法可以選。
或是，先沿著河岸跑到泰山對面，再游過去。這個方法使游泳距離減到最少，但整段路線變得很長。
珍有非常多的方法可以選。
「遇到同樣問題的艾維斯，有可能選擇最佳路徑嗎？或是像斐寧斯在他的研究論文標題裡的提問：狗懂微積分嗎？首先，我們得定義幾個變數：艾維斯的奔跑速率r；他的游泳速率s；球與湖岸的距離x；以及球在沿著沙灘方向上的距離z。」
「最後是關鍵的決策變數y：艾維斯要截掉多少的轉角。」
「最後是關鍵的決策變數y：艾維斯要截掉多少的轉角。」
經過一番代數運算，斐寧斯得出這個令人吃驚的公式：
「為什麼令人吃驚呢？與其說是因為公式裡有的東西（一堆符號），還不如說是因為裡面沒有的。它沒有z。」
「為什麼令人吃驚呢？與其說是因為公式裡有的東西（一堆符號），還不如說是因為裡面沒有的。它沒有z。」
「接下來幾年，斐寧斯在對學生講話的時候，都會強調這一點。斐寧斯會問：『如果我沿著湖岸往後退10碼再拋球，艾維斯應該怎麼做？』換句話說，如果z增加了，y會怎麼樣？」
「絕大多數（至少90%）的學生選（b）。但接著斐寧斯會指出，公式裡少了z。缺少就是指這個最佳位置與z無關。無論他以湖岸線上多遠的地方為起點，不管是100英尺、100碼還是100英里，艾維斯應該都會選同一刻下水。」
我直覺也是選（b），拋球點往後挪，入水點就往後挪，但仔細一想才發現這完全沒道理，根本不用因為從比較遠的地方拋球，就從比較遠的地方跳進水裡呀
我直覺也是選（b），拋球點往後挪，入水點就往後挪，但仔細一想才發現這完全沒道理，根本不用因為從比較遠的地方拋球，就從比較遠的地方跳進水裡呀
「斐寧斯、艾維斯和一個學生幫手在沙灘上忙了一天，樂此不疲地收集數據。」「他追在艾維斯後面，追到狗撲進水中為止，共計35次；他把螺絲起子插進沙地，以標出位置，也做了35次；最後又趕在艾維斯撿到球之前，衝去量球與湖岸的距離，衝了35次。」
「斐寧斯的公式預測了x（球與湖岸的距離）和y（艾維斯的入水點）之間的線性關係。斐寧斯把35個數據點標在圖上之後（除了其中兩次，急過頭的艾維斯直接跳進水中，因而以『功課好的學生也有失常的時候』這個原因排除在外），發現結果和他的公式頗為吻合。」
「他把〈狗懂微積分嗎？〉投稿到《大學數學期刊》。主編昂德伍.杜德利（Underwood Dudley）馬上接受了，把艾維斯的照片啪的一聲放在封面上，然後寫信給斐寧斯：『後代的人讀到這篇文章時會說：那時候有偉人。而且他們會是對的。』
這篇論文的天才之處在於簡單易行，就像艾維斯一樣。斐寧斯說：『很可能有一百個數學家在心裡懊惱不已：幾年前我本來可以跟我的狗一起做這個的。』」
這篇論文的天才之處在於簡單易行，就像艾維斯一樣。斐寧斯說：『很可能有一百個數學家在心裡懊惱不已：幾年前我本來可以跟我的狗一起做這個的。』」
「爆雷：狗不懂微積分。不過，天擇是強大的最佳化武器。一隻狗若能越快找到食物，牠（及其孩子）的生存機會越大，久而久之，採取最有效率的路徑的狗在族群中就開始佔有優勢，一代又一代，狗『學會』了微積分。
六邊形的蜂巢使材料消耗減到最少，肺部不斷分支的氣管使表面積達到最大，哺乳動物的動脈讓血液回流得最少，道理全是一樣的。自然界憑著不可思議的本事，通曉了微積分。」
六邊形的蜂巢使材料消耗減到最少，肺部不斷分支的氣管使表面積達到最大，哺乳動物的動脈讓血液回流得最少，道理全是一樣的。自然界憑著不可思議的本事，通曉了微積分。」
「艾維斯在2013年離開了。」「裴寧斯告訴我：『剛開始時艾維斯是我當成非常好的朋友的一隻狗，到牠死的時候，牠是碰巧生而為狗的好朋友。』」
end
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【月球與蘋果】
當牛頓在花園中看到一顆蘋果掉落後，他靈光一閃，如果有一顆蘋果從月球那麼遠的位置掉落，那重力會如何發揮作用？
「他約略知道這段距離有多長：如果地球表面與地心的距離是1單位長，那麼月球就在60個單位之外。」
當牛頓在花園中看到一顆蘋果掉落後，他靈光一閃，如果有一顆蘋果從月球那麼遠的位置掉落，那重力會如何發揮作用？
「他約略知道這段距離有多長：如果地球表面與地心的距離是1單位長，那麼月球就在60個單位之外。」
根據牛頓的「平方反比律」（inverse square law）：距離越遠，重力越弱。
距離變2倍時，重力只有原來的1/4。
距離變3倍時，重力只有原來的1/9。
距離變10倍時，重力只有原來的1/100。
「我們那顆勇敢去太空旅行的蘋果，與地核的距離是它那些住在果園的膽小親戚的60倍，所以只會承受到1/3600的重力。」
距離變2倍時，重力只有原來的1/4。
距離變3倍時，重力只有原來的1/9。
距離變10倍時，重力只有原來的1/100。
「我們那顆勇敢去太空旅行的蘋果，與地核的距離是它那些住在果園的膽小親戚的60倍，所以只會承受到1/3600的重力。」
「在地球表面的附近讓蘋果落下，它在第一秒會掉落4.9公尺，差不多是位於二樓的窗戶高度。從月球距離的高處讓我們太空蘋果落下，它在第一秒只會掉落1毫米多，大約是一張完好信用卡的厚度。」
把這顆蘋果拋出去後，它會順著一個弧線前進，如果只看這道弧線的一個「幾乎無窮小的瞬間：1秒……在這麼短暫的間隔裡，軌道的弧線不妨就當成直線。」
「我們在這裡標出的距離，是這顆蘋果在只靠重力設備的情況下會掉落的距離。」
「我們在這裡標出的距離，是這顆蘋果在只靠重力設備的情況下會掉落的距離。」
1.35毫米是蘋果往地球掉落的垂直距離。
「牛頓的下一步是乾淨俐落的幾何論證。我們已經構成了一個小的直角三角形，現在想知道它的斜邊長（即最長邊的邊長）。所以我們把它嵌進一個邊長比例相同的大直角三角形裡：」
因為兩個三角形的形狀相同，所以對應邊比例：
不知道這裡為什麼作者要改用這個比較精確的781542公里來算，用第一張圖的384000公里和6400公里也一樣可以算出1.027公里。
不知道這裡為什麼作者要改用這個比較精確的781542公里來算，用第一張圖的384000公里和6400公里也一樣可以算出1.027公里。
所以，月球（蘋果）真的每秒移動1.027公里嗎？
月球繞著地球的路徑約為2,451,712公里（下圖我用384000公里和6400公里來算，書裡是用781542公里）：
每秒移動1.027公里的話，2,451,712公里除以1.027公里，要花2,387,256.09秒才能走完一圈。2,387,256.09秒就等於 27.6天，也就是月球繞地球一圈的天數。
「這個數字以驚人的精確度證實了牛頓的理論：月球真的像巨大的五爪蘋果一樣落下」。
end
月球繞著地球的路徑約為2,451,712公里（下圖我用384000公里和6400公里來算，書裡是用781542公里）：
每秒移動1.027公里的話，2,451,712公里除以1.027公里，要花2,387,256.09秒才能走完一圈。2,387,256.09秒就等於 27.6天，也就是月球繞地球一圈的天數。
「這個數字以驚人的精確度證實了牛頓的理論：月球真的像巨大的五爪蘋果一樣落下」。
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